平均変化率とは？意味と求め方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

やさしく言うと

平均変化率は、$x$ がある値から別の値まで変わるあいだに、$y$ が「1 あたり平均どれだけ」変わったかを表す数です。関数 $y=f(x)$ で $x$ が $a$ から $b$ まで変わるとき、

$$\text{平均変化率}=\frac{y\text{ の増加量}}{x\text{ の増加量}}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

で求めます。身近な例で考えてみましょう。

• 平均の速さ：ある列車が 2 時間で 500 km 進んだら、平均の速さは時速 250 km。途中で止まったり加速したりしても、「全体でならすと 1 時間あたり 250 km」です。これが平均変化率です。
• 身長ののび：3 年間で 15 cm のびたなら、1 年あたり平均 5 cm。1 年ごとののびはバラバラでも、ならせば 5 cm です。
• グラフの坂：グラフ上の 2 点を直線で結ぶと、その直線の傾きが平均変化率になります。

まとめると、平均変化率は「2 点を結ぶ直線の傾き」で、中学で習った変化の割合と同じものです。高校の微分は、ここから始まります。

平均変化率の例

平均変化率は、2 つの点があってはじめて決まります。「$x=1$ での平均変化率」という言い方はしません。1 点での変化の速さを表すのは、次に学ぶ微分係数です。

図で見る

$y=x^2$ で、$x$ が 1 から 3 まで変わるときを図にします。2 点 $(1,\ 1)$、$(3,\ 9)$ を結ぶと、横に 2 進む間に縦に 8 上がる直線になります。

上の 2 つのグラフは、途中の動きがまったくちがいますが、平均変化率はどちらも 1 です。平均変化率だけでは、途中の様子はわかりません。だからこそ、区間をどんどんせまくして調べる考え方（微分）が必要になります。

微分係数へのつながり

$x$ が $a$ から $a+h$ まで変わるときの平均変化率は $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ です。ここで $h$ を 0 に近づけると、2 点がどんどん近づき、直線は点 $(a,\ f(a))$ での接線に近づきます。その極限が微分係数 $f'(a)$ です。

$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

速さでいえば、平均変化率は「平均の速さ」、微分係数は「その瞬間の速さ」です。車のスピードメーターが表しているのは、瞬間の速さのほうです。

テスト・入試ではこう出る

平均変化率は、高校の数学Ⅱ「微分・積分の考え」の最初に出てきます。中学 3 年では、関数 $y=ax^2$ の「変化の割合」として同じ計算をしています。よく出るのは、平均変化率を計算する問題、$a$ から $a+h$ までの平均変化率から微分係数を求める問題、そして「平均変化率と微分係数が等しくなる点」を求める問題（平均値の定理につながる考え方）です。

まちがえやすい点

• 分母と分子の順番をそろえない：分子を $f(b)-f(a)$ にしたら、分母も $b-a$（同じ順）です。$\dfrac{f(b)-f(a)}{a-b}$ にすると符号が逆になります。
• $y$ の値の平均と混同する：「平均」という言葉につられて $\dfrac{f(a)+f(b)}{2}$ を計算するのは×。平均変化率は「増加量 ÷ 増加量」です。
• 分母と分子を逆にする：$\dfrac{x\text{ の増加量}}{y\text{ の増加量}}$ ではなく、$\dfrac{y\text{ の増加量}}{x\text{ の増加量}}$ です。「$y$ が上（分子）」と覚えます。
• 負の値のひき算でかっこを忘れる：$f(1)=-1$ のとき、$f(4)-f(1)=8-(-1)=9$ です。$8-1=7$ ではありません。
• 「中学の変化の割合」と別物と思う：よび方がちがうだけで、同じ考え方です。$y=ax^2$ で $x$ が $p$ から $q$ まで変わるときの変化の割合は $a(p+q)$ で、これも平均変化率です。

ことばの意味

「平均」はならすこと、「変化率」は変わる割合のことで、「ならして見た、変わる割合」という漢字どおりの意味です。英語では average rate of change といいます。中学では同じものを「変化の割合」とよびます。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 変化の割合（y＝ax² の変化の割合）
• 平均値の定理
• 平均の速さ
• 微分の公式

あわせて覚えたい用語

• 変化の割合
• 微分係数と導関数
• 接線

よくある質問