微分可能とは？連続との関係をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

やさしく言うと

関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるとは、その点でグラフの傾き（微分係数）が 1 つに決まることです。式で書くと、次の極限が存在することです。

$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

• なめらかな道とかど：カーブがなめらかな道なら、どの地点でも「今どっち向きに進んでいるか」が 1 つに決まります。でも、道がかくっと曲がるかどでは、向きが決まりません。微分可能とは、「かどがない」ことです。
• 虫めがねで拡大する：なめらかな曲線は、1 点のまわりをどんどん拡大するとまっすぐな直線に見えてきます。その直線の傾きが微分係数です。とがった点は、いくら拡大してもとがったままです。
• ペンの動き：ペンを紙からはなさずにかけるのが「連続」。そのうえ、とちゅうで急に向きを変えずにかけるのが「微分可能」です。

まとめると、微分可能とは「その点で接線が 1 本に決まる（グラフがなめらか）」ということです。

微分可能な点・そうでない点

多項式や $\sin x$、$\cos x$、指数関数は、定義域のすべての点で微分可能です。微分可能でない点が出てくるのは、おもに絶対値をふくむ関数や、場合分けでつないだ関数のつなぎ目です。

図で見る

「拡大するとまっすぐに見えるか」を図で比べてみましょう。

連続との関係

微分可能ならば連続です。けれども、連続でも微分可能とは限りません。

「微分可能ならば連続」は、次のように示せます。$h\ne0$ のとき

$$f(a+h)-f(a)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\times h$$

と変形すると、$h\to0$ で右辺は $f'(a)\times0=0$ に近づきます。つまり $f(a+h)\to f(a)$ で、これは連続の意味そのものです。逆が成り立たない例は $|x|$ の $x=0$ です。

つなぎ目での微分可能

場合分けで定義された関数がつなぎ目で微分可能になるには、①値がつながる（連続）と②右と左の傾きが一致するの 2 つが必要です。

$x\le1$ で $y=x^2$ のとき、右側に直線をつなぐことを考えます。$y=3x-2$ も点 $(1,\ 1)$ を通るので連続ですが、傾き 3 は $y=x^2$ の $x=1$ での傾き 2 とちがうので、角ができて微分可能ではありません。傾き 2 の $y=2x-1$ なら、なめらかにつながります。

テスト・入試ではこう出る

微分可能という言葉は、高校の数学Ⅲの微分法で、微分係数・導関数の定義と一緒にきちんと学びます。よく出るのは、絶対値をふくむ関数の微分可能性を定義から調べる問題、場合分けした関数がつなぎ目で微分可能になるように定数を決める問題、そして「微分可能ならば連続、逆は成り立たない」を説明する問題です。平均値の定理など、定理の条件として「微分可能」が出てくることも多くあります。

まちがえやすい点

• 連続なら微分可能と思う：$|x|$ の $x=0$ のように、つながっていても微分できない点があります。成り立つのは「微分可能ならば連続」の向きだけです。
• 片側だけ計算する：$|x|$ で $h>0$ だけ考えると「傾き 1」で微分可能に見えます。右から（$h>0$）と左から（$h<0$）の両方を必ず調べます。
• つなぎ目で値だけ合わせる：例題2で $a+b=1$ だけにすると、$y=3x-2$ のように角ができる場合もふくんでしまいます。傾きの条件も必要です。
• 導関数の式に代入するだけで判断する：$x\ne0$ で $|x|'=\pm1$ を計算しても、$x=0$ での微分可能性はわかりません。つなぎ目は定義の式で調べます。
• 傾き 0 は微分できないと思う：$y=x^3$ の $x=0$ は傾き 0 で、ちゃんと微分可能です。微分できないのは、傾きが 1 つに決まらないときや、無限大になるときです。

ことばの意味

「微分可能」は、漢字のとおり「微分することが可能（できる）」という意味です。英語では differentiable といい、differentiate（微分する）に「〜できる」を表す -able がついた言葉です。区間のすべての点で微分可能な関数は、「その区間で微分可能」といいます。

ミニ問題

関連する公式・用語

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• 微分の公式
• 平均値の定理
• 接線の方程式
• 積の微分・商の微分・合成関数の微分

あわせて覚えたい用語

• 連続
• 微分係数と導関数
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