二等辺三角形・正三角形とは？意味と性質をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

二等辺三角形・正三角形とは？意味と性質をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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二等辺三角形・正三角形とは

二等辺三角形は2つの辺の長さが等しい三角形で、2つの底角が等しくなります。正三角形は3つの辺の長さがすべて等しい三角形で、3つの角はどれも 60∘60^\circ です。正三角形は、二等辺三角形の特別な場合です。

読み方：にとうへんさんかくけい・せいさんかくけい／英語：isosceles triangle / equilateral triangle／習う学年：小学3年（二等辺三角形・正三角形）、中学2年（性質の証明）

ハルちゃん

ハルちゃん

二等辺三角形の「底角」と「頂角」、どっちがどっちか、わからなくなっちゃう…

合格先生

合格先生

等しい2本の辺にはさまれた角が頂角、残りの辺（底辺）の両はしにあるのが底角だよ。等しくなるのは底角のほうだ。

この用語のポイント

  • 二等辺三角形 ＝ 2辺が等しい。等しい2辺にはさまれた角が頂角、残りの2つが底角
  • 底角は等しい。逆に、2つの角が等しい三角形は二等辺三角形
  • 正三角形 ＝ 3辺が等しい。角はすべて 60∘60^\circ。二等辺三角形の特別な場合

やさしく言うと

二等辺三角形は、2つの辺の長さが等しい三角形です。正三角形は、3つの辺の長さがぜんぶ等しい三角形です。名前のとおり、「二等辺」は「2本の辺が等しい」、「正」は「全部がそろっていて、かたよりがない」という意味です。

みのまわりにも、この形がかくれています。

  • 三角定規：2まい組の三角定規のうち、1まいは直角二等辺三角形です（角は 45∘45^\circ・45∘45^\circ・90∘90^\circ）。もう1まい（30∘30^\circ・60∘60^\circ・90∘90^\circ）は、正三角形をちょうど半分にした形です。
  • 家の屋根：左右に同じ長さで傾いた屋根を横から見ると、二等辺三角形が見えます。左右の傾きが同じなので、雨が両側に同じように流れます。
  • ビリヤードの玉をそろえる枠：15 個の玉を三角形に並べる枠は、正三角形です。どの辺にも同じ数の玉が並びます。

二等辺三角形では、等しい2辺にはさまれた角を頂角（ちょうかく）、残りの辺を底辺（ていへん）、底辺の両はしの角を底角（ていかく）といいます。まとめると、二等辺三角形は「左右がそろった三角形」、正三角形は「どこから見てもそろった三角形」です。

頂角 底角 底角 底辺 二等辺三角形 60°60°60° 正三角形
二等辺三角形の頂角・底角・底辺と、角がすべて 60° の正三角形
指さして説明するハルちゃん

ハルちゃん

同じ長さの辺には、同じしるしをつけると見分けやすいよ！

例と、例ではないもの

○ 二等辺三角形・正三角形

  • 3辺が 5cm・5cm・3cm の三角形（2辺が等しい）
  • 3辺が 4cm・4cm・4cm の三角形（正三角形。二等辺三角形の仲間でもある）
  • 角が 45∘45^\circ・45∘45^\circ・90∘90^\circ の三角形（直角二等辺三角形）
  • 角が 30∘30^\circ・75∘75^\circ・75∘75^\circ の三角形（2つの角が等しいので二等辺三角形）
  • 円の中心と、円周上の2点を結んだ三角形（2辺が半径）
  • 角が 60∘60^\circ・60∘60^\circ・60∘60^\circ の三角形（正三角形）

× ではないもの

  • 3辺が 3cm・4cm・5cm の三角形（等しい辺がない）
  • 3辺が 2cm・2cm・5cm（2+2<52+2<5 で、三角形ができない）
  • 角が 40∘40^\circ・60∘60^\circ・80∘80^\circ の三角形（等しい角がない）
  • 4辺が等しい四角形（ひし形。三角形ではない）
  • 2つの角が 60∘60^\circ で、辺が 3cm・3cm・4cm（そんな三角形はない。2つの角が 60∘60^\circ なら残りも 60∘60^\circ で正三角形）

二等辺三角形かどうかは、辺で見ても角で見ても判断できます。2つの辺が等しければ、2つの角も等しく、その逆も成り立つからです（下の「性質」で説明します）。

図で見る

紙で二等辺三角形を切りぬき、頂点 A から底辺のまん中 M に向かって折ってみましょう。左右がぴったり重なります。二等辺三角形は、この折り目について線対称な形なのです。

A B C M AM で折ると… ・∠B と ∠C が重なる → 底角は等しい ・BM ＝ CM → M は BC の中点 ・AM ⊥ BC → 折り目は垂直
頂角の二等分線で折ると、底角どうし・BM と CM がぴったり重なる
まなぶくん

まなぶくん

折って重なるのはわかったけど、それで何がうれしいの？

合格先生

合格先生

重なる角や辺は、大きさが等しいということだよ。だから底角は等しいし、折り目は底辺をまん中で、垂直に分ける。1回折るだけで、3つの性質が見えるんだ。

二等辺三角形は、コンパスを使うと正確にかけます。等しい2辺の長さを半径にして、底辺の両はしから円をかけばよいのです。

A B C 4cm 3cm 3cm ① 4cm の辺 BC をかく ② B を中心に半径 3cm ③ C を中心に半径 3cm ④ 交わった点が A ⑤ A と B、A と C を結ぶ 半径 4cm でかけば、3つの辺が 4cm の正三角形
コンパスで、底辺 4cm・等しい辺 3cm の二等辺三角形をかく

コンパスは「中心から同じきょりの点」をかく道具なので、2つの円が交わった点は、B からも C からも 3cm です。これが二等辺三角形のかき方のしくみです。

二等辺三角形・正三角形の性質

二等辺三角形正三角形
辺2つの辺が等しい3つの辺が等しい
角2つの底角が等しい3つの角がすべて 60∘60^\circ
対称の軸1本（頂角の二等分線）3本
角から見分ける2つの角が等しければ二等辺三角形3つの角が等しければ正三角形
  • 底角は等しい：中学2年では、このことを三角形の合同を使って証明します（下の例題2）。
  • 頂角の二等分線は、底辺を垂直に二等分する：つまり頂角の二等分線は、底辺の垂直二等分線と同じ直線です。
  • 逆も成り立つ：「2つの角が等しい三角形は、二等辺三角形である」。角度の問題で、等しい角を見つけたら二等辺三角形だとわかり、等しい辺が見つかります。

正三角形は、どの角を頂角と見ても二等辺三角形になっています。だから3つの角がどれも等しく、180∘÷3=60∘180^\circ\div3=60^\circ です。

定義の流儀のちがい

「正三角形は二等辺三角形か？」は、よく話題になる問題です。日本の教科書では、二等辺三角形を「2つの辺が等しい三角形」と定め、中学2年で「正三角形は二等辺三角形の特別な場合」と学びます。このページもこの考え方です。

一方、古代ギリシャのユークリッドの『原論』では、二等辺三角形を「2つの辺だけが等しい三角形」として、正三角形と分けていました。小学3年でも、三角形を仲間分けするときは「二等辺三角形」と「正三角形」を別々の名前で呼びます。どちらの考え方かで答えが変わる問題は、授業や問題文の決まりに合わせるのが安全です。

中学・高校で使う辺の比

中学3年で三平方の定理を習うと、三角定規の2つの形の辺の比がわかります。図形の問題でとてもよく使います。

正三角形の半分 直角二等辺三角形 60° 30° 1 2 √3 45° 45° 1 1 √2 1 : √3 : 2 1 : 1 : √2
正三角形の半分は 1：√3：2、直角二等辺三角形は 1：1：√2

正三角形を頂点から底辺へまっすぐ半分に切ると、角が 30∘30^\circ・60∘60^\circ・90∘90^\circ の直角三角形が2つできます。いちばん短い辺は、もとの1辺のちょうど半分です。高さは三平方の定理から 22−12=3\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3 です。だから1辺 2cm の正三角形の高さは 3\sqrt3 cm、面積は 2×3÷2=32\times\sqrt3\div2=\sqrt3（cm²）になります。

テスト・入試ではこう出る

二等辺三角形と正三角形は、小学3年で名前と、コンパスを使ったかき方を習います。中学受験では、角度の問題で「どこが二等辺三角形か」を見ぬく力がよく問われます（円の半径でできる三角形・折り返した図形など）。中学2年では、底角が等しいことの証明や、二等辺三角形になることの証明が出ます。中学3年からは、1:3:21:\sqrt3:2 や 1:1:21:1:\sqrt2 の比を使う計算がふえます。

例題1（角度）

AB＝AC の二等辺三角形 ABC で、頂角 ∠A=40∘\angle A=40^\circ です。∠B\angle B は何度ですか。

  1. AB＝AC なので、底角は ∠B\angle B と ∠C\angle C で、等しい。
  2. 三角形の角の和は 180∘180^\circ なので、∠B+∠C=180∘−40∘=140∘\angle B+\angle C=180^\circ-40^\circ=140^\circ。
  3. ∠B=∠C=140∘÷2=70∘\angle B=\angle C=140^\circ\div2=70^\circ。

答え　∠B=70∘\angle B=70^\circ（たしかめ：40∘+70∘+70∘=180∘40^\circ+70^\circ+70^\circ=180^\circ）

例題2（中学2年：証明）

AB＝AC の二等辺三角形 ABC で、∠B=∠C\angle B=\angle C であることを証明しなさい。

  1. 頂角 ∠A\angle A の二等分線をひき、BC との交点を M とする。
  2. 三角形 ABM と三角形 ACM で、AB＝AC（仮定）、∠BAM=∠CAM\angle BAM=\angle CAM（AM は二等分線）、AM は共通。
  3. 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、三角形 ABM ≡ 三角形 ACM。
  4. 合同な図形の対応する角は等しいので、∠B=∠C\angle B=\angle C。

答え　底角は等しい（このとき BM＝CM、∠AMB=∠AMC=90∘\angle AMB=\angle AMC=90^\circ もわかります）

ひらめいたまなぶくん

まなぶくん

等しい辺を見つけたら底角も等しい。角度の問題はここから始まるんだね！

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

頂角 40° なら底角は 140° ではなく 70°！ 2つの底角で 140° を分けよう。

  • 頂角と底角を逆にする：等しいのは底角（底辺の両はしの角）です。等しい2辺にはさまれた角が頂角です。図が回転して、頂角が下にきても同じです。
  • 2で割るのを忘れる：頂角 40∘40^\circ のとき、底角を 180∘−40∘=140∘180^\circ-40^\circ=140^\circ とするまちがいです。2つの底角の合計が 140∘140^\circ なので、1つは 70∘70^\circ です。
  • 「底辺＝いちばん下の辺」と思う：底辺は、等しい2辺ではない残りの辺のことです。三角形の置き方で決まるわけではありません。
  • 正三角形を二等辺三角形から外す：教科書の定義では、正三角形も2辺が等しいので二等辺三角形の仲間です。「二等辺三角形の性質」は正三角形でも使えます。
  • どんな長さでも三角形ができると思う：2cm・2cm・5cm では、短い2辺をあわせても 5cm にとどかず、三角形になりません。二等辺三角形では、等しい辺の2倍が底辺より長いことが必要です。

ことばの由来

二等辺は「2つの等しい辺」という意味です。正三角形の「正」は、正方形・正五角形などと同じで、辺の長さも角の大きさも全部等しいことを表します。

英語では、二等辺三角形を isosceles triangle（アイソセレス）といいます。ギリシャ語の isos（等しい）と skelos（脚）からできた言葉で、「等しい2本の脚」のイメージです。正三角形は equilateral triangle（イクイラテラル）で、「等しい辺」という意味です。

ミニ問題

問題1　二等辺三角形の底角の1つが 50∘50^\circ です。頂角は何度ですか。

答えと解き方を見る

80∘80^\circ です。底角は2つとも 50∘50^\circ なので、180∘−50∘×2=80∘180^\circ-50^\circ\times2=80^\circ です。底角の1つだけを引いて 130∘130^\circ としないように気をつけましょう。

問題2　まわりの長さが 27cm の正三角形があります。1辺の長さと、1つの角の大きさを答えましょう。

答えと解き方を見る

1辺は 9cm、1つの角は 60∘60^\circ です。3つの辺の長さが等しいので 27÷3=927\div3=9（cm）。3つの角も等しいので 180∘÷3=60∘180^\circ\div3=60^\circ です。

問題3　AB＝AC の二等辺三角形 ABC で、∠A=36∘\angle A=36^\circ です。辺 AC の上に、BD＝BC となる点 D をとります。∠ABD\angle ABD は何度ですか。

答えと解き方を見る

36∘36^\circ です。

  1. 底角は ∠B=∠C=(180∘−36∘)÷2=72∘\angle B=\angle C=(180^\circ-36^\circ)\div2=72^\circ。
  2. BD＝BC なので、三角形 BCD も二等辺三角形。底角が等しいので ∠BDC=∠C=72∘\angle BDC=\angle C=72^\circ。
  3. 三角形 BCD で ∠DBC=180∘−72∘×2=36∘\angle DBC=180^\circ-72^\circ\times2=36^\circ。
  4. ∠ABD=72∘−36∘=36∘\angle ABD=72^\circ-36^\circ=36^\circ。

∠A=∠ABD=36∘\angle A=\angle ABD=36^\circ なので、三角形 ABD も二等辺三角形（AD＝BD）です。「二等辺三角形の中に、別の二等辺三角形を見つける」のが角度の問題のコツです。

関連する公式・用語

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あわせて覚えたい用語

よくある質問

二等辺三角形とは簡単にいうと何ですか？

2つの辺の長さが等しい三角形です。等しい2辺にはさまれた角を頂角、残りの辺を底辺、底辺の両はしの角を底角といい、2つの底角は等しくなります。

正三角形は二等辺三角形ですか？

日本の中学校の教科書では、二等辺三角形を「2つの辺が等しい三角形」と定めるので、正三角形は二等辺三角形の特別な場合と考えます。「2つの辺だけが等しい」と定める流儀もあります。

二等辺三角形の底角の求め方は？

180°から頂角を引き、2で割ります。頂角が40°なら、(180°−40°)÷2＝70°です。

正三角形の1つの角は何度ですか？

60°です。3つの角が等しく、三角形の角の和は180°なので、180°÷3＝60°です。

二等辺三角形はどうやってかきますか？

底辺をかき、その両はしを中心に、等しい辺の長さを半径とする円をコンパスでかきます。2つの円が交わった点と底辺の両はしを結びます。

二等辺三角形・正三角形は何年生で習いますか？

小学3年で名前とかき方を習います。中学2年では、底角が等しいことなどを証明します。

出典・参考

  • 文部科学省「小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 算数編」第3学年 B 図形（二等辺三角形、正三角形）
  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第2学年 B 図形（三角形の性質の証明）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦