シムソン線（シムソンの定理）｜垂線の足が一直線になる証明・円周角と逆の定理・座標での例題【大学受験・発展】

うかるくん

どうして3つの垂線の足が、ぴったり一直線に並ぶの？

合格先生

直角が2つあれば4点は同じ円の上だ。円周角で角を移すと、対頂角が等しくなるぞ。

シムソン線（シムソンの定理）

シムソン線は「ウォレス線」とよばれることもあります。ふつうの点から3辺に垂線をおろすと、3つの足は三角形（垂足三角形）をつくりますが、P が外接円の上に来たときだけ、その三角形がつぶれて一直線になる、というのがこの定理の意味です。

証明（円周角と4点が同じ円の上にある条件）

図の位置関係（P が A をふくまない弧 BC の上、L は辺 BC 上、M は辺 CA 上、N は辺 AB の B の先の延長上）で示します。ほかの位置関係でも、角の向きを読みかえれば同じように示せます。

手順1：4点が同じ円の上にある

• $\angle PNB=\angle PLB=90^\circ$ なので、N と L は PB を直径とする円の上。つまり P、B、L、N は同じ円の上（円周角の定理の逆）。
• $\angle PLC=\angle PMC=90^\circ$ なので、P、L、C、M も PC を直径とする円の上。

手順2：円周角で角を移す

• 緑の円で、弧 BN に対する円周角より $\angle BLN=\angle BPN$。
• 橙の円で、弧 CM に対する円周角より $\angle CLM=\angle CPM$。

手順3：$\angle BPN=\angle CPM$ を示す

四角形 ABPC は外接円に内接するので、向かい合う角の和は $180^\circ$（円に内接する四角形）。よって $\angle PBN=180^\circ-\angle ABP=\angle ACP$。直角三角形 PBN と PCM で

手順4：一直線になる

以上から $\angle BLN=\angle CLM$。B、L、C は一直線上にあり、N と M は直線 BC について反対側にあるので、等しい2つの角は対頂角の形になり、N、L、M は一直線上にあります。（逆に、L、M、N が一直線なら同じ式を逆にたどって $\angle PBN=\angle ACP$ が言え、四角形 ABPC が円に内接することが分かります。）

大学受験での使い方

高校の範囲をこえる内容と入試での使い方

教科書での位置：シムソン線は、高校の教科書で定理として習う内容ではありません（発展やコラムで紹介されることはあります）。ただし証明に使うのは、4点が同じ円の上にある条件、円周角の定理、円に内接する四角形だけなので、数学Aの知識で理解できます。

入試での使い方：

• 「3点が一直線上にあることを示せ」という問題で、背景にシムソン線があることがあります。答案では定理の名前で終わらせず、上の手順1〜4（直角2つ→円→円周角→対頂角）を書くのが安全です。
• 座標やベクトルの問題でも、外接円の上の点から垂線をおろす設定なら、答えが一直線になると見当がつきます。検算に使えます。
• ほかにも、「シムソン線は P と垂心 H を結ぶ線分の中点を通る」ことが知られています。例題2では △ABC は $\angle A=90^\circ$ の直角三角形なので垂心は $A(3,4)$、PH の中点 $\left(\dfrac32,-\dfrac12\right)$ は確かに $y=-\dfrac13x$ の上にあります。

よくある間違い

合格先生

一直線になるのは、P が外接円の上にあるときだけだ。ほかの点では三角形になるぞ。

• P が円の上にないのに一直線と思う：L、M、N が一直線になるのは、P が外接円の上にあるときだけ。それ以外では三角形になります。
• 辺の上だけで垂線の足を探す：足は辺の延長の上に来ることが多い（図の N）。直線 AB に垂線をおろすと考えます。
• 円周角の向きをまちがえる：証明では、どの弧に対する円周角かを図で確かめてから等しいと書きましょう。

練習問題

合格先生

足は辺の延長に来ることが多い。図をかいて確かめよう。

1. 大学受験 例題2と同じ円と △ABC（$A(3,4)$、$B(-5,0)$、$C(5,0)$）で、$P(0,5)$ のシムソン線の式は？
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   $L(0,0)$。$N(-5+2t,\ t)$：$2(-5+2t)+(t-5)=0$ より $t=3$、$N(1,3)$。$M(5-s,\ 2s)$：$-(5-s)+2(2s-5)=0$ より $s=3$、$M(2,6)$。答え $y=3x$
2. 大学受験 △ABC の外接円で、B を通る直径のもう一方の端を P とするとき、P のシムソン線は？
   答えと解説を見る

   $\angle BAP=\angle BCP=90^\circ$ なので、AB への足は A、BC への足は C。答え 直線 AC
3. 大学受験 例題2と同じ円と △ABC で、$P(-4,-3)$ のシムソン線の式を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $L(-4,0)$。$N(-5+2t,\ t)$：$2(-1+2t)+(t+3)=0$ より $t=-\dfrac15$、$N\left(-\dfrac{27}{5},-\dfrac15\right)$。$M(5-s,\ 2s)$：$-(9-s)+2(2s+3)=0$ より $s=\dfrac35$、$M\left(\dfrac{22}{5},\dfrac65\right)$。答え $y=\dfrac17(x+4)$

関連する公式

• 円周角の定理
• 4点が同一円周上にある条件（円周角の定理の逆）
• 円に内接する四角形の性質
• トレミーの定理
• オイラー線と九点円
• メネラウスの定理・チェバの定理（一直線を示すもう1つの道具）

よくある質問

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