2つの円の位置関係と共通接線の公式｜d と R＋r・R−r の5パターン・共通接線の本数と長さ√(d²−(R−r)²)の証明と例題【高校受験〜大学受験】

2つの円の位置関係と共通接線の公式｜d と R＋r・R−r の5パターン・共通接線の本数と長さ√(d²−(R−r)²)の証明と例題【高校受験〜大学受験】

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高校受験大学受験

AB=d2−(R−r)2(内接線は d2−(R+r)2)AB=\sqrt{d^2-(R-r)^2}\quad\left(\text{内接線は }\sqrt{d^2-(R+r)^2}\right)

外接 d=R+rd=R+r、交わる R−r<d<R+rR-r<d<R+r、内接 d=R−rd=R-r

この公式のポイント

  • 位置関係は dd と R+rR+r、R−rR-r をくらべる
  • 共通接線は 4・3・2・1・0本
  • 外接線の長さは半径の差、内接線は半径の和
  • 半径を平行移動して直角三角形を作る
うかるくん

うかるくん

共通接線の長さって、半径の差を使うの？和を使うの？

合格先生

合格先生

同じ側を通る外接線は差の R−rR-r、2円の間を通る内接線は和の R+rR+r だ。半径を平行移動して直角三角形を作れば分かるぞ。

2つの円の位置関係と共通接線

半径 RR と rr（R≧rR\geqq r）の2つの円があり、中心どうしの距離を dd とします。2つの円の位置関係は、dd と R+rR+r、R−rR-r をくらべるだけで決まります。

位置関係dd の条件共有点共通接線
離れているd>R+rd>R+r0個4本
外接するd=R+rd=R+r1個3本
2点で交わるR−r<d<R+rR-r<d<R+r2個2本
内接するd=R−rd=R-r1個1本
一方が他方の内側d<R−rd<R-r0個0本

共通接線の長さ（接点から接点まで）

共通外接線AB=d2−(R−r)2\text{共通外接線}\quad AB=\sqrt{d^2-(R-r)^2}共通内接線AB=d2−(R+r)2\text{共通内接線}\quad AB=\sqrt{d^2-(R+r)^2}

外接線は2円の同じ側を通る接線、内接線は2円の間を通る接線。外接線は「半径の差」、内接線は「半径の和」と覚えます。

離れているd＞R＋r共通接線 4本外接するd＝R＋r共通接線 3本2点で交わるR−r＜d＜R＋r共通接線 2本内接するd＝R−r共通接線 1本内側にあるd＜R−r共通接線 0本緑：共通外接線　橙：共通内接線（2円の間を通る）
中心間の距離 d が小さくなるにつれ、共通接線は 4本→3本→2本→1本→0本 とへっていく

証明

位置関係が d で決まる理由

大きい円の中心を O、小さい円の中心を O′ とします。直線 OO′ 上で、2つの円の「いちばん近い点・いちばん遠い点」を考えると分かりやすいです。

  • d>R+rd>R+r：O から RR、O′ から rr 進んでも届かないので、すき間があく（離れている）。
  • d=R+rd=R+r：ちょうど1点でくっつく（外接）。この点は直線 OO′ 上にある。
  • R−r<d<R+rR-r<d<R+r：三角形の成立条件から、辺が R, r, dR,\ r,\ d の三角形 OPO′ が作れる。点 P は直線 OO′ の両側に1つずつあるので、交点は2個。
  • d=R−rd=R-r：小さい円が内側から1点でくっつく（内接）。d<R−rd<R-r なら小さい円は大きい円の中にすっぽり入る。

交点を P とすると、2円が交わる条件は「OP＝RR、O′P＝rr、OO′＝dd の三角形ができること」、つまり ∣R−r∣<d<R+r|R-r|<d<R+r です。三角形の成立条件そのものです。

共通外接線の長さ

共通外接線と2円の接点を A、B とします。接線は接点を通る半径に垂直なので、OA⊥ABOA\perp AB、O′B⊥ABO'B\perp AB。O′ から OA に垂線 O′H をおろすと、四角形 ABO′H は長方形になり、O′H=ABO'H=AB、AH=O′B=rAH=O'B=r です。

直角三角形 OHO′ で OH=R−rOH=R-r、OO′=dOO'=d なので、三平方の定理より

AB=O′H=d2−(R−r)2AB=O'H=\sqrt{d^2-(R-r)^2}
ABHOO′dR−r＝ABrAB＝O′H＝√(d²−(R−r)²)
O′ から OA に垂線 O′H をおろすと、ABO′H は長方形。OH＝R−r の直角三角形ができる

共通内接線の長さ

共通内接線の接点を A、B とします。今度は OA を A の先へ rr だけのばした点を H とすると、四角形 AHO′B が長方形になり、O′H=ABO'H=AB、OH=R+rOH=R+r です。直角三角形 OHO′ で

AB=O′H=d2−(R+r)2AB=O'H=\sqrt{d^2-(R+r)^2}
ABHOO′dR＋r＝ABAB＝O′H＝√(d²−(R＋r)²)
OA を A の先へ r だけのばすと、OH＝R＋r の直角三角形ができる（図は半径5・3、中心間10の円を拡大）

内接線は2円が離れているとき（d>R+rd>R+r）しか引けないので、根号の中は正になります。d=R+rd=R+r（外接）のときは長さ0で、接点が1つにまとまった接線になります。

座標で考える（共通弦）

2つの円 x2+y2+ax+by+c=0x^2+y^2+ax+by+c=0、x2+y2+a′x+b′y+c′=0x^2+y^2+a'x+b'y+c'=0 が2点で交わるとき、2つの式を引くと x2, y2x^2,\ y^2 が消えて1次式（直線の式）になります。2つの交点はどちらの式もみたすので、この直線の上にあります。つまり、引いてできた直線が2つの交点を通る直線（共通弦）です。

(4, 3)(4, −3)x＝4（共通弦）O6−5x²＋y²＝25(x−6)²＋y²＝13
2つの円の式を引くと x＝4。これが2つの交点 (4, ±3) を通る共通弦

高校受験（中学数学）での使い方

中学では「接線は接点を通る半径に垂直」と三平方の定理を組み合わせて、共通接線の長さを求める問題が出ます。

高校受験

例題1（共通接線の長さ）

半径 5 cm と 3 cm の円があり、中心間の距離は 10 cm です。共通外接線と共通内接線について、それぞれ接点から接点までの長さを求めなさい。

解き方

外接線：102−(5−3)2=96=46\sqrt{10^2-(5-3)^2}=\sqrt{96}=4\sqrt6（cm）。

内接線：102−(5+3)2=36=6\sqrt{10^2-(5+3)^2}=\sqrt{36}=6（cm）。

どちらも、半径を平行移動して直角三角形を作るのが考え方です。

答え　外接線 464\sqrt6 cm、内接線 66 cm

高校受験

例題2（位置関係と接線の本数）

半径 5 cm と 3 cm の円の中心間の距離が 8 cm のとき、2つの円の位置関係と、共通接線の本数を答えなさい。

解き方

5+3=85+3=8 で d=R+rd=R+r なので、2つの円は外接します。

外接するとき、共通外接線2本と、接点を通る共通接線1本で、合わせて3本です。

答え　外接する、3本

大学受験（数学A・数学Ⅱ）での使い方

大学受験

例題3（接する条件・交わる条件）

円 x2+y2=4x^2+y^2=4 と、円 (x−3)2+(y−4)2=r2(x-3)^2+(y-4)^2=r^2（r>0r>0）がある。（1）2円が外接するときの rr、内接するときの rr を求めよ。（2）2円が2点で交わる rr の範囲を求めよ。

解き方

中心は (0,0)(0,0) と (3,4)(3,4) で、d=5d=5。半径は 22 と rr。

（1）外接：2+r=52+r=5 より r=3r=3。内接：∣r−2∣=5|r-2|=5 より r=7r=7（r>0r>0）。

（2）∣r−2∣<5<r+2|r-2|<5<r+2。5<r+25<r+2 より r>3r>3、∣r−2∣<5|r-2|<5 より −3<r<7-3<r<7。合わせて 3<r<73<r<7。

答え　（1）外接 r=3r=3、内接 r=7r=7　（2）3<r<73<r<7

大学受験

例題4（共通弦）

2つの円 x2+y2=25x^2+y^2=25 と (x−6)2+y2=13(x-6)^2+y^2=13 の交点を通る直線の方程式と、共通弦の長さを求めよ。

解き方

2つ目の式を展開すると x2+y2−12x+23=0x^2+y^2-12x+23=0。1つ目 x2+y2−25=0x^2+y^2-25=0 から引くと 12x−48=012x-48=0、つまり x=4x=4。

x=4x=4 を x2+y2=25x^2+y^2=25 に入れると y=±3y=\pm3。交点は (4, 3)(4,\ 3)、(4, −3)(4,\ -3) で、共通弦の長さは 66。

答え　直線 x=4x=4、共通弦の長さ 66

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

外接するときの共通接線を2本と数えるな。接点を通る1本を足して3本だ。

  • 外接線と内接線の式を取りちがえる：同じ側を通る外接線は半径の差 R−rR-r、間を通る内接線は半径の和 R+rR+r。
  • 「内接」で半径の差に絶対値をつけ忘れる：どちらの円が大きいか分からないときは d=∣R−r∣d=|R-r|。rr を文字で置いたときに起こりやすい。
  • 外接のときの共通接線を2本と数える：接点を通る接線を足して3本。内接なら1本だけ。

練習問題

指さして説明するサクラちゃん

サクラちゃん

まず dd と R+rR+r、R−rR-r をくらべてみよう！

  1. 高校受験 半径 9 cm と 4 cm の円が外接しています。共通外接線の、接点から接点までの長さは？
    答えと解説を見るd=9+4=13d=9+4=13。132−(9−4)2=144=12\sqrt{13^2-(9-4)^2}=\sqrt{144}=12。答え 1212 cm
  2. 高校受験 半径 6 cm と 4 cm の円の中心間の距離が 1 cm のとき、位置関係と共通接線の本数は？
    答えと解説を見る6−4=26-4=2 で d=1<2d=1<2。小さい円が大きい円の内側にあり、共通接線は0本。
  3. 大学受験 円 x2+y2=1x^2+y^2=1 と円 x2+y2−6x−8y+k=0x^2+y^2-6x-8y+k=0 が外接するとき、定数 kk の値は？
    答えと解説を見る2つ目は (x−3)2+(y−4)2=25−k(x-3)^2+(y-4)^2=25-k。中心間 d=5d=5、半径 25−k\sqrt{25-k}。外接は 1+25−k=51+\sqrt{25-k}=5 より 25−k=4\sqrt{25-k}=4、k=9k=9。答え k=9k=9

関連する公式

この公式に出てくる用語（数学用語辞典）

よくある質問

2つの円の位置関係はどうやって調べますか？

中心間の距離 d を、半径の和 R＋r と半径の差 R−r とくらべます。d＝R＋r なら外接、d＝R−r なら内接、その間なら2点で交わります。

共通接線は何本ありますか？

離れているとき4本、外接で3本、2点で交わると2本、内接で1本、一方が他方の内側にあると0本です。

共通接線の長さの求め方は？

共通外接線は √(d²−(R−r)²)、共通内接線は √(d²−(R＋r)²) です。一方の半径を平行移動して直角三角形を作り、三平方の定理で求めます。

2つの円の交点を通る直線の求め方は？

2つの円の方程式を引き算すると x²、y² が消えて直線の式になり、それが2つの交点を通る直線（共通弦）です。

あわせて読みたい

出典・参考

  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）」数学 第3学年（三平方の定理）
  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学A（図形の性質）・数学Ⅱ（図形と方程式）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦