三角形の成立条件｜2辺の和＞残りの辺・|b−c|＜a＜b＋c の理由と、もう1本の長さ・鈍角三角形の例題【中学受験〜大学受験】

まなぶくん

4 cm、4 cm、8 cm の棒なら、三角形ができると思ったのに！

合格先生

4＋4 は 8 とちょうど同じだ。一直線につぶれるから、三角形にはならないぞ。

三角形ができる条件

なぜそうなるのか（証明）

「2辺の和＞残りの辺」になる理由

2つの点を結ぶ道で、いちばん短いのはまっすぐな道です。三角形 ABC で、B から C へまっすぐ行く道（長さ $a$）は、A に寄り道する道（長さ $c+b$）より短いので、$a<b+c$。ほかの2つも同じです。

反対に、図1の下のように、短い2本の和がいちばん長い1本より短い（または等しい）と、2本の棒の先がとどかない（ちょうど等しいときは、ぺちゃんこにつぶれて一直線になる）ので、三角形はできません。

いちばん長い辺だけ調べればよい理由

$a$ がいちばん長いとします。$b<a$ なので $b<a+c$ はいつでも成り立ちます。$c<a+b$ も同じです。だから、調べる必要があるのは $a<b+c$ だけです。

$|b-c|<a<b+c$ の意味

2辺 $b,\ c$ をくっつけて、その間の角を 0° から 180° まで開いていくと、残りの辺は「差 $|b-c|$」から「和 $b+c$」までのびていきます。はしの2つは一直線（ぺちゃんこ）なので入りません。

余弦定理による証明（数学Ⅰ）

余弦定理より $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$。三角形の角なので $0^\circ<A<180^\circ$、つまり $-1<\cos A<1$。よって

正の数どうしなので $|b-c|<a<b+c$。逆にこの不等式が成り立てば $-1<\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}<1$ となり、その値を $\cos A$ とする角 $A$ がとれるので、三角形ができます。

中学受験（算数）での使い方

高校受験（中学数学）での使い方

大学受験（数学Ⅰ）での使い方

よくある間違い

合格先生

調べるのは、いちばん長い辺だ。短い辺どうしでくらべても意味がないぞ。

• 等しいときも「できる」とする：$4+4=8$ のように和が等しいと、一直線につぶれて三角形になりません。条件は「＞」で、「≧」ではありません。
• 短い辺どうしでくらべる：調べるのは「いちばん長い辺 ＜ 残り2辺の和」。短い辺で調べても意味がありません。
• 鈍角の条件だけで答える：大学入試では、まず三角形ができる条件を出し、そのあとで鋭角・鈍角の条件と組み合わせます。

練習問題

まなぶくん

差より長く、和より短い。これで決まり！

1. 中学受験 5 cm と 9 cm の棒に、長さが整数 cm の棒を1本加えて三角形を作ります。もう1本の長さは何通りありますか。
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   $9-5=4$ より長く、$9+5=14$ より短い。5〜13 cm の9通り。答え 9通り
2. 高校受験 3辺の長さがすべて整数で、周の長さが 15 の三角形は何種類ありますか。
   答えと解説を見る

   $a\le b\le c$、$c<7.5$ より $c\le7$、$c\ge5$。$c=7$：(1,7,7)(2,6,7)(3,5,7)(4,4,7)、$c=6$：(3,6,6)(4,5,6)、$c=5$：(5,5,5)。答え 7種類
3. 大学受験 3辺が $3$、$5$、$x$ の三角形が鈍角三角形になるような $x$ の範囲は？
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   三角形の条件 $2<x<8$。$x$ が最大（$x\ge5$）なら $x^2>34$ で $\sqrt{34}<x<8$。5が最大（$x<5$）なら $25>9+x^2$ で $x<4$、よって $2<x<4$。答え $2<x<4$、$\sqrt{34}<x<8$

関連する公式

• 正弦定理・余弦定理
• 三平方の定理（鋭角・直角・鈍角の判定）
• 絶対値と不等式（三角不等式 $|a+b|\le|a|+|b|$）
• 三角形の合同条件
• 平行線と角・三角形の内角の和
• 重心の性質

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）