てんびん算の解き方と公式｜重さの比がうでの長さの逆比になる理由・食塩水の例題【中学受験】

うかるくん

てんびん算で、重さの比とうでの長さの比って同じじゃないの？

合格先生

逆になるんだ。面積図で、はみ出した所とへこんだ所の食塩が等しいから、重いほうのうでが短くなるぞ。

てんびん算の公式

てんびん算は、こさのちがう2つの食塩水を混ぜる問題を、てんびんのつり合いで解く方法です。両はしに混ぜる前の2つの食塩水、支点（ささえる所）に混ぜたあとのこさを書きます。

なぜ逆比になるのか（面積図で説明）

こさ×重さ＝食塩の重さです。そこで、横を食塩水の重さ、たてをこさにした長方形をかくと、面積が食塩の重さになります（面積図）。

5%の200gと10%の300gを混ぜて8%になったとき、混ぜたあとの食塩の量は、横500g・たて8%の長方形の面積です。食塩の量は混ぜても変わらないので、2つの長方形を合わせた面積と同じです。

すると下の図のように、8%の線より上にはみ出した青い部分と、へこんでいる赤い部分の面積が等しくなります。青は「横300・たて 10−8＝2」、赤は「横200・たて 8−5＝3」なので、$300\times2=200\times3$（どちらも600）です。

この式は、てんびんの「重さ×うでの長さ」が左右で等しい、というつり合いの式と同じ形です。$200\times3=300\times2$ が成り立つには、重さが大きいほうのうでが短くなければなりません。だから重さの比 2：3 は、うでの長さ 3：2 をひっくり返した比（逆比）になります。

確かめ：食塩は $200\times0.05+300\times0.1=10+30=40$ g。全体は500gなので、こさは $40\div500=0.08$、つまり8%です。

中学受験（算数）での使い方

手順は3つです。①両はしと支点のこさを書く。②うでの長さ（こさの差）の比を出す。③重さの比はその逆比。何を聞かれているか（こさか、重さか）で、どこを□にするかが決まります。

よくある間違い

合格先生

重さの比をうでの長さの比と同じにしてはだめだ。重いほうのうでが短い、比はひっくり返すんだぞ。

• 重さの比とうでの長さの比を同じにする：重いほうのうでが短い。比はひっくり返します。
• 水や食塩をてんびんにのせられない：水は0%、食塩は100%と考えればのせられます。
• こさをそのまま平均する：4%と9%を混ぜても6.5%とは限りません。重さがちがうと支点の位置が変わります。

練習問題

サクラちゃん

水は0%、食塩は100%でのせられるね！

1. 中学受験 6%の食塩水400gと12%の食塩水200gを混ぜると何%になりますか。
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   重さ 2：1 なので、うで 1：2。差6%を 1：2 に分けると2%と4%。$6+2=8$。確かめ：$24+24=48$、$48\div600=0.08$。答え 8%
2. 中学受験 10%の食塩水300gに4%の食塩水を何g混ぜると6%になりますか。
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   うで 10%側が4、4%側が2で 4：2＝2：1。重さは逆比で 10%：4%＝1：2。$300\times2=600$。確かめ：$30+24=54$、$54\div900=0.06$。答え 600g
3. 中学受験 5%の食塩水300gに食塩を何g加えると24%になりますか。
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   食塩は100%。うでは $24-5=19$ と $100-24=76$ で 1：4。重さは 5%：食塩＝4：1。$300\div4=75$。確かめ：$15+75=90$、$90\div375=0.24$。答え 75g

関連する公式

• 食塩水の濃度
• 逆比
• 平均算（面積図が同じ形）
• 割合の公式
• 連比・比例式

よくある質問

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• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）