【解答編】35, 77, □, 221, 323, 437 の□に入る数｜地頭を鍛える数の並びの法則・解き方と練習問題

※ここから下は答えが出てきます。

この記事は「ある法則で数字が並んでいます。□に入る数字は何でしょう？」という地頭（じあたま）を鍛える数学の問題の解答編です。問題をもう一度見たい人は問題編へどうぞ。同じシリーズの時計の問題「地頭を鍛える算数の問題（10, 21, □, 19, 6, 17, 4）」と、その解答編もあわせて解いてみると、「足し算・引き算で見えない法則」の見つけ方が身につきます。

問題のおさらい：35, 77, □, 221, 323, 437 の□に入る数は？

問題はこうでした。「ある法則で数字が並んでいます。□に入る数字は何でしょう？　35　77　□　221　323　437」

数はどんどん大きくなっていますが、ふえ方はばらばらです。35から77は42ふえ、221から323は102ふえ、323から437は114ふえています。足し算や引き算の決まりを探しても、すぐには見つかりません。こういうときは、かけ算・割り算の目で数を見るのがコツです。

答え：□に入る数と元の解答

元の記事の解答は、次の画像でした。

35＝5×7
77＝7×11
□＝11×13
221＝13×17
323＝17×19
437＝19×23

連続する素数を掛け合わせた数字
□は　143　となります。

答え：143（＝11×13）

元の解答の画像では、4行目が「212＝13×17」になっていますが、13×17＝221 なので、問題の「221」の書きまちがいです。問題の数そのもの（35, 77, □, 221, 323, 437）はまちがっていません。

素数とは、1とその数自身でしか割り切れない2以上の整数のことです。5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 は、5から順に1つも飛ばさずに並べた素数です（5と7の間、7と11の間などに、ほかの素数はありません）。この素数をとなりどうし2つずつかけた数が問題の並びで、□は11と13をかけた143です。前の77（7×11）とは11を、うしろの221（13×17）とは13を共有していて、くさりのようにつながっています。

うかるくん

35は5×7、77は7×11…。かけ算に直したら、5, 7, 11, 13 って素数がきれいに並んでた！

解き方：法則を見つける4つの手順

答えを知ってしまえばかんたんですが、大事なのはどうやってそこにたどりつくかです。この問題は、次の4つの手順で考えると自然に答えが出ます。

手順1：となりとの差を見る

数の並びの問題では、まずとなりとの差を計算します。差がいつも同じなら等差数列、差の差（階差）に決まりがあれば階差数列です。この問題で□をのぞいて差を出すと、323−221＝102、437−323＝114 と、差が12ふえています。ところが□の前後をふくめた差は分からないので、ここでは決め手になりません。答えを入れたあとで差を並べると 42, 66, 78, 102, 114、差の差は 24, 12, 24, 12 と交互になっています。決まりはあるのですが、これを最初に見つけるのはむずかしいでしょう。

差の差を使う数列の考え方は、公式辞典の「階差数列の公式」、差が一定の並びは「等差数列の和の公式」で確かめられます。

手順2：小さい素数で割ってみる

足し算・引き算で決まりが見えないときは、小さい素数（2, 3, 5, 7, 11, …）で割ってみます。35は5で割り切れて 35＝5×7、77は7で割り切れて 77＝7×11 です。このように数を素数のかけ算の形に直すことを素因数分解（そいんすうぶんかい）といいます。

のこりの数も割ってみましょう。221は2・3・5・7・11では割り切れず、13で割ると 221＝13×17。323は 17×19、437は 19×23 です。437 の割り方は、あとの「437はどこまで割ればいい？」でくわしく説明します。素因数分解のやり方（すだれ算）は数学用語辞典の「素因数分解とは？」、約数の個数への使い方は公式辞典の「素因数分解と約数の個数」にまとめています。

手順3：かけている数の並びを見る

かけ算の形を縦に並べると、5×7、7×11、□、13×17、17×19、19×23。左の数も右の数も 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 という素数の列から出てきていて、前の式の右の数が、次の式の左の数になっています。7と13の間が空いているので、□には「11×13」が入ると考えられます。

手順4：□を計算して前後と確かめる

11×13＝143。前の 77＝7×11 と11でつながり、うしろの 221＝13×17 と13でつながります。並び全体が「となり合う素数の積」という1つの法則で説明できたので、答えは143です。最後に前後とのつながりを確かめるくせをつけると、思いこみによるまちがいをふせげます。

うかるくん

差を計算しても 42, 102, 114…でバラバラでした。どこで「割ってみよう」って切りかえればいいんですか？

合格先生

差に決まりが見えなかったら、すぐに切りかえてOKです。一の位が5の数（35）は5で割れる、77は7の段で見たことがある、のように、知っている九九やかけ算から入るのが近道。足し算の目でだめなら、かけ算の目に変えてみましょう。

別の見方：となりとの差を割ってみる

手順1で「決め手にならない」とした差にも、じつはきれいな決まりがかくれています。答えを入れて差を並べると 42, 66, 78, 102, 114。どれも6で割り切れて、6で割ると 7, 11, 13, 17, 19 になります。これは並びの間にはさまれた素数そのものです。

なぜこうなるのか、文字で確かめてみましょう。となり合う3つの素数を p, q, r とすると、並びの2つの数は p×q と q×r なので、差は q×r − p×q ＝ q×（r−p）。r−p は「p から r までの間かく」です。この問題の素数は 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 で、間かくが 2, 4, 2, 4, 2, 4 と交互になっているので、2つ分の間かく r−p はいつも 2＋4＝6。だから差はいつも「6×間の素数」になるのです。

ただし、これはこの7つの素数だけで成り立つ偶然の決まりです。23の次の素数は29で、間かくは6。並びを1つ先までのばすと 23×29＝667 で、437からの差は230（＝10×23）になり、「6×素数」の形はくずれます。途中まで成り立つ決まりにまどわされず、全体を説明できる法則（となり合う素数の積）を答えにするのが、数の並びの問題の大事な考え方です。

差が2の素数の組（5と7、11と13、17と19 など）は双子素数、差が4の組（7と11、13と17、19と23 など）はいとこ素数とよばれます。双子素数は 3と5、5と7、11と13、17と19、29と31、41と43 … と続きますが、無限にあるかどうかはまだ証明されていません（双子素数の予想）。2027年の入試で注目される 2027 と 2029 も双子素数です。くわしくは「2027の数字と入試問題｜2027は素数・双子素数」で紹介しています。

別の見方：和と差の積（乗法公式）で計算する

□の11×13は、筆算をしなくても暗算で出せます。11と13のちょうど真ん中は12。11＝12−1、13＝12＋1 なので、

11×13 ＝ (12−1)(12＋1) ＝ 12² − 1² ＝ 144 − 1 ＝ 143

中学3年で習う乗法公式「(a−b)(a＋b)＝a²−b²」（和と差の積）を使いました。面積で見ると、たて13・横11の長方形の上の1列を切って右に動かすと、12×12の正方形から1×1だけ足りない形になります。

この見方を使うと、問題の数はすべて「真ん中の数の2乗から、何かの2乗を引いた数」になります。

双子素数（差が2）の積は「2乗−1」、いとこ素数（差が4）の積は「2乗−4」です。逆に、大きな数を素因数分解するときにも使えます。たとえば2021は 45²−2²＝(45−2)(45＋2)＝43×47 と分解でき、入試の予想問題として「2021＝(45+2)(45−2)」で取り上げました。乗法公式のまとめは公式辞典の「乗法公式」、式の展開の意味は数学用語辞典の「展開とは？」で確かめられます。

サクラちゃん

144−1 なら暗算でできますね。でも、これってテストで役に立つんですか？

合格先生

役に立ちます。大学入試では「その年の西暦」を素因数分解させる問題がよく話題になります。平方数（2乗の数）の近くの数は、和と差の積で分解できないかを最初に疑うと、一気に解けることがあるんです。

素数とは？1が素数でない理由と見つけ方

この問題のカギになった素数（そすう、prime number）について、基本をまとめておきます。

• 素数：1とその数自身のほかに約数をもたない、2以上の整数。2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …
• 合成数：1とその数自身のほかにも約数をもつ、2以上の整数。4, 6, 8, 9, 10, 12, …
• 1：素数でも合成数でもない
• 偶数の素数は2だけ（ほかの偶数はすべて2で割り切れる）
• 100までの素数は25個、50までの素数は15個

1を素数に入れないのは、素因数分解のしかたが1通りに決まるようにするためです。もし1が素数なら、35＝5×7＝1×5×7＝1×1×5×7 … と、何通りにも書けてしまいます。言葉の意味や例題は数学用語辞典の「素数とは？」、約数・倍数の言葉は「約数と倍数とは？」で確かめられます。

エラトステネスのふるいで素数を見つける

決まった数までの素数を全部見つけるには、古代ギリシャの学者の名前がついたエラトステネスのふるいが便利です。1を消し、2をのこして2の倍数を消し、3をのこして3の倍数を消し、5、7 … と、のこった数の倍数を順に消していくと、最後までのこった数が素数です。1から50までなら、7の倍数まで消せば終わります（7×7＝49 で、次の素数11の2乗121は50をこえるため）。

表の赤わくを見ると、問題の素数 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 が1つも飛ばさずに並んでいることがよくわかります。京都大学（京大）の生協には、素数の目盛りだけがついた「素数ものさし」というグッズもあります。どう使うのかは「京大の素数ものさしとは？」で紹介しています。

合格先生

素数は「数の原子」。どんな整数も素数のかけ算に分けられて、その分け方は1通りだけ。だから数の並びの問題で迷ったら、素因数分解してみるのが強いんです！

437はどこまで割ればいい？素因数分解のコツ

手順2で「小さい素数で割ってみる」と書きましたが、どこまで割れば終わりにしてよいのでしょうか。437を例に、順に割ってみます。

437は2・3・5・7・11・13・17では割り切れず、19で割り切れて 437＝19×23 です。ここで覚えておきたいのが、その数の平方根（√）以下の素数で割り切れなければ、その数は素数というきまりです。ある数が a×b に分けられるなら、a と b の少なくとも一方は平方根以下になるからです。√437 は約20.9 なので、437 が素数かどうかを調べるには、19までの素数で割ってみれば十分です。

割り算を減らす倍数の見分け方

• 2の倍数：一の位が偶数（437は一の位が7なので×）
• 3の倍数：各位の数の和が3の倍数（4＋3＋7＝14 なので×）
• 5の倍数：一の位が0か5（35は○、437は×）
• 11の倍数：一の位から交互に足し引きした数が0か11の倍数（143なら 3−4＋1＝0 なので11の倍数）

この見分け方を使うと、□の143も「11で割れる」とすぐに分かり、143÷11＝13 です。倍数の見分け方がなぜ成り立つのかは、公式辞典の「約数の個数・総和の公式と倍数の見分け方」で証明しています。

素因数分解は高校入試・大学入試でも使う

素因数分解は、パズルだけでなく入試の計算問題でもよく使います。たとえば中学3年の平方根の単元でよく出る「√(540×n) が自然数になる最小の自然数 n は？」という問題。540を素因数分解すると 540＝2²×3³×5 なので、すべての素数の指数（かけている回数）を偶数にするには、指数が奇数の3と5をもう1つずつかければよく、n＝3×5＝15。実際に √(540×15)＝√8100＝90 です。

高校数学では「整数の性質」で、約数の個数・最大公約数・不定方程式などに素因数分解を使います。大学入試の整数問題では、「素数 p について…」という条件がよく出て、素数は1とその数自身でしか割り切れないという性質がそのまま解き方のカギになります。今回のパズルは、その入口にあたる問題です。

よくあるまちがい

• 差だけを見てあきらめる：差に決まりが見えないときは、割り算・かけ算の目に切りかえます。
• 素数を1つ飛ばしてしまう：5, 7, 11, 13 … の途中で、9や15のような合成数を入れたり、13を飛ばして17にしたりしないこと。エラトステネスのふるいで確かめると安心です。
• 11×13 の計算ミス：11×13＝143。「12²−1」で検算すると、ミスに気づけます。
• 途中だけの決まりで答える：「差は6の倍数」のような決まりは、この並びの範囲でたまたま成り立つだけです。全体を説明できる法則で答えましょう。

数の並び（数列）の問題でよく出る法則の一覧

「ある法則で数字が並んでいます」という問題は、中学受験の算数の「規則性」、高校入試の数の並び、高校数学の数列の入口として、いろいろな場面で出てきます。よく出る法則を一覧にしました。法則が見つからないときは、上から順に当てはめてみてください。

この問題は、表のいちばん下の「素数の積」の型でした。差・比・差の差を調べても決まりが見えない、というほかの型を消していった結果として、割り算に切りかえるのが自然な流れです。逆に、最初から素数を疑ってしまうと、等差数列のようなかんたんな並びで遠回りすることもあります。かんたんな型から順に試すのがいちばんの近道です。

中学受験の規則性の問題は、公式辞典の「周期算の解き方」「数表の規則性の解き方」「階段の上り方とフィボナッチ数」で練習できます。

練習問題（素数・素因数分解・和と差の積）

今回の考え方で解ける問題を6つ用意しました。答えは押すと開きます。どれも計算で確かめています。

練習1：素数の2乗

ある法則で数字が並んでいます。□に入る数は何でしょう？　9, 25, □, 121, 169

練習2：2から始まるとなり合う素数の積

ある法則で数字が並んでいます。□に入る数は何でしょう？　6, 15, □, 77, 143

練習3：となり合う素数の和

ある法則で数字が並んでいます。□に入る数は何でしょう？　5, 8, 12, 18, □, 30

練習4：391を素因数分解

391を素数のかけ算に直してください。

練習5：899を素因数分解

899を素数のかけ算に直してください。

練習6：9991を素因数分解

9991を素数のかけ算に直してください。

この問題の並びの次の数も考えてみましょう。23の次の素数は29なので、437の次は 23×29＝667 です。

地頭を鍛える算数・数学パズル

「地頭（じあたま）」は、知識の量よりも、手がかりから筋道を立てて考える力を指して使われる言葉です。この問題のように、足し算の目でだめなら、かけ算の目に切りかえる練習は、入試の初めて見る問題に向き合う力にもつながります。合格大作戦にはほかにもいろいろなパズルがあります。

• 時計で解く数の並び：「地頭を鍛える算数の問題」と「その解答編（余りと合同式）」
• 数の表の規則を見つける：「5行5列の数字の表の規則」
• 計算の決まりを見ぬく：「【IQテスト】4+2=14、2+7=23…」「□に当てはまる数値【解答編】」
• かくれた数字を当てる：「【おでん算】△○□を求めよ」
• 立方数のふしぎ：「プラトン数と216（3³＋4³＋5³＝6³）」
• 整数の有名な難問：「フェルマーの最終定理とは？」
• 西暦の数字と入試：「2017と29について覚えておきましょう」「2027の数字と入試問題」
• 考える力を伸ばす本：「「地頭」を鍛えるお勧め参考書」

整数の問題は大学入試でもよく出る分野です。京都大学の数学の出題の傾向は「京大 理系数学の出題分析」「京大 文系数学の出題分析」で確かめられます。数学の記事は「数学まとめ」、公式は「算数・数学公式辞典」、言葉の意味は「数学用語辞典」から探せます。数学の勉強の進め方の全体像は「数学の勉強法」へ。わからないところは「受験の質問・相談」から質問してください。問題をもう一度見たい人は問題編へどうぞ。

まとめ

• 答えは143。5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 のとなり合う素数を2つずつかけた数の並びで、□は11×13
• 差に決まりが見えないときは、小さい素数で割って素因数分解してみる
• 差は 42, 66, 78, 102, 114 で「6×間の素数」。ただしこの範囲だけの決まり
• 11×13 は和と差の積で 12²−1＝143 と暗算できる
• 素数かどうかは、平方根以下の素数で割って確かめる
• 元の解答画像の「212＝13×17」は「221」の書きまちがい

よくある質問

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