【解答編】10,21,□,19,6,17,4の□に入る数｜時計で解く数の並びの法則と余り（mod）・周期

この記事は「地頭を鍛える算数の問題。ある法則で数字が並んでいます。」の解答編です。まだ自分で考えていない人は、先に問題編（10, 21, □, 19, 6, 17, 4 の□に入る数は？）で解いてみてください。ここでは元の解答のヒントと答えを図で説明したあと、別の見方を2つ、なぜ見方がちがっても答えがそろうのか、高校数学の「余り」「合同式（mod）」とのつながり、身近な周期の例、練習問題6問までまとめています。

問題のおさらい：10, 21, □, 19, 6, 17, 4 の□に入る数は？

問題はこうでした。「ある法則で数字が並んでいます。□に入る数字は何でしょう？　10　21　□　19　6　17　4」

大きくなったり小さくなったりしていて、ぱっと見ただけでは法則がわかりにくい並びです。となりどうしの差を計算すると、10→21 は＋11、19→6 は −13、6→17 は＋11、17→4 は −13。「＋11」と「−13」が交互に出てくるように見えます。じつはこの「−13」が、法則を見つけるいちばんの手がかりです。

うかるくん

＋11 と −13 が交互…？　でも、なんで −13 なんだろう。11と13って、足すと24だ！

答え：□は8（10時の11時間後は21時、21時の11時間後は8時）

元の解答では、2つのヒントが出されていました。

ヒント1　時計をイメージしてみてください。

ヒント2　10の次の数字は何時間後ですか？

もうおわかりですね！？

10時　の　11時間後は　21時
21時　の　11時間後は　8時

ということは、□に入る数字は「8」となります。

答え：8

のこりの数も確かめてみましょう。8時の11時間後は19時、19時の11時間後は30時…ではなく、24時をこえるので30−24＝6時。6時の11時間後は17時、17時の11時間後は28−24＝4時。問題の数がすべて「11時間後の時刻」になっていることがわかります。

差が「−13」に見えたのは、11時間進んで、24時をこえた分の24を引いたからです。11−24＝−13。だから「＋11」と「−13」は、どちらも時計の上では同じ「11時間進む」なのです。頭の体操になったでしょうか？

24時間の時計で見る：11時間ずつ進む時刻の並び

0時から23時までの24個の時刻を円の上に並べると、この問題の動きがひと目でわかります。10時から11時間ずつ線でたどると、ほぼ半周ずつ進みながら、21時・8時・19時・6時・17時・4時と回っていきます。

24時間の時計では、24時間でちょうどひと回りして同じ時刻にもどります。だから「32時」という時刻はなく、32時間は「1日（24時間）と8時間」なので、次の日の8時です。これは算数の言葉でいうと、32を24で割った余りが8ということです。

この並びの続きは？（24回でもとの10にもどる）

4時のあとも11時間ずつ進めると、次のようになります。

4時の次は15時、その次は2時、13時、0時（24時）、11時…と続き、24回進むと、0時から23時までの24個の時刻を1回ずつ全部通って10時にもどります。11時間ずつ24回進むと 11×24＝264時間＝11日なので、ちょうど11日後の同じ時刻です。

どの時刻もちょうど1回ずつ通るのは、11と24が1以外に共通の約数をもたない（互いに素）からです。もし「8時間ずつ」進むなら、10時→18時→2時→10時と3つの時刻を回るだけで、ほかの時刻は通りません（8と24は8で割り切れるため）。互いに素・最大公約数の求め方は、公式辞典の「最大公約数・最小公倍数の求め方」で確かめられます。

12時間の文字盤で見る：11時間進む＝1時間もどる

ヒント2の写真のような、1から12までの数字が書かれたふつうの時計で考えると、もっとかんたんな見方ができます。文字盤の上では、21時は9の位置、19時は7の位置、17時は5の位置です（午後9時・午後7時・午後5時）。すると、問題の並びは文字盤の上で次のように動いています。

10 → 9 → 8 → 7 → 6 → 5 → 4

文字盤は12時間でひと回りします。11時間進むのは、ひと回り（12時間）より1時間だけ足りない動きなので、針の位置だけを見ると1時間もどったのと同じになります。式で書くと 11＝12−1 です。だから並びは文字盤の上で10, 9, 8, 7, …と1ずつ減っていき、□は10と9の次の8です。

元の記事のヒント2の写真には、画像の名前（代替テキスト）として「時計12進数」と付けてありました。時計の文字盤が12でひと回りすることを指した言葉です。数学で「12進法（12進数）」というと数の書き表し方のことなので、この問題で使っているのは、正確には「12で割った余り」の考え方です。

サクラちゃん

24時間で考えても、12時間の文字盤で考えても、答えが同じ8になるのはなぜですか？

合格先生

8時は、24時間の時計でも文字盤でも「8」だからです。21時や19時のように12より大きい時刻は文字盤では12を引いた位置になるけど、□の8は12より小さいので、どちらで見ても8のまま。24時間は12時間のちょうど2周分なので、24時間の時計で正しければ、文字盤の上でも正しくなります。

別の見方：1つおきに見ると2ずつ減る

時計を思いつかなくても、数を1つおきに見ると答えにたどりつけます。1番目・3番目・5番目・7番目と、2番目・4番目・6番目に分けてみましょう。

• 1・3・5・7番目：10, □, 6, 4 → 6と4の差は2なので、10, 8, 6, 4（2ずつ減る）
• 2・4・6番目：21, 19, 17（2ずつ減る）

この見方でも□は8です。数の並びの問題では、となりどうしでは規則が見えなくても、1つおきに見ると規則が見えることがよくあります。2つの並びが交互にまざっている問題は、中学受験の算数の「数の並び（数列）」でもよく出ます。

なぜ「11時間ずつ」と「2ずつ減る」がそろうのか

1つおきに見るのは、11時間進むのを2回くり返すことです。11＋11＝22時間進むのは、24時間（ひと回り）より2時間足りないので、時刻としては2時間もどるのと同じです。式で書くと 22＝24−2。だから1つおきの数は2ずつ減っていきます。

ただし、この「2ずつ減る」は、0時をまたぐと形が変わります。たとえば4時の2つ先は 4＋22＝26 → 26−24＝2時で、まだ2ずつ減っていますが、その2つ先は 2−2＝0（0時）、さらに2つ先は 0−2 ではなく 24−2＝22時です。問題に出ている7個の数の中では0時をまたがないので、「2ずつ減る」だけで解けるわけです。どの見方も、もとをたどると「24時間でひと回りする時計の上で11時間ずつ進む」という1つの法則から出てきています。

合格先生

答えが同じでも、なぜ同じになるのかを説明できるのが本当の地頭！見方を2つ以上もって、たがいに確かめ合いましょう。

余りで考える：時計の計算は「割った余り」

時計の計算で大事なのは、ひと回りの数で割った余りだけです。24時間の時計なら24で割った余り、12時間の文字盤なら12で割った余りを見れば、何周しても時刻（針の位置）がわかります。

• 21＋11＝32。32÷24＝1 余り 8 → 次の日の8時
• 19＋11＝30。30÷24＝1 余り 6 → 次の日の6時
• 17＋11＝28。28÷24＝1 余り 4 → 次の日の4時
• 21時は 21÷12＝1 余り 9 → 文字盤の9の位置

反対に、時間をさかのぼるときは足りない分に24を足します。4時の11時間前は 4−11＝−7 なので、−7＋24＝17時。並びを右から左に読むと、ちゃんと17になっています。

「余りの問題」は中学受験の算数の大事な単元です。余りがそろう・不足がそろうなどの型は、公式辞典の「余りの問題の解き方と公式」に例題つきでまとめています。「余り」という言葉の意味（割り算の余りは割る数より小さい、など）は数学用語辞典の「余りとは？」で確かめられます。

高校数学では「合同式（mod）」：10＋11≡21、21＋11≡8（mod 24）

高校数学では、「割った余りが等しい」ことを合同式という書き方で表します。2つの整数 a と b を m で割った余りが等しいとき、

a ≡ b （mod m）

と書き、「a と b は m を法として合同」と読みます。mod は英語の modulo（モジュロ）の略です。この書き方は、ドイツの数学者カール・フリードリヒ・ガウスが1801年の著書『整数論（Disquisitiones Arithmeticae）』で使い始めたことでよく知られています。

この問題を合同式で書くと、次のようになります。

• 21＋11＝32 ≡ 8（mod 24）　…24時間の時計
• 11 ≡ −1（mod 12）　…文字盤では11時間進む＝1時間もどる
• 22 ≡ −2（mod 24）　…1つおきに見ると2ずつ減る

合同式のいちばん便利な点は、足し算・引き算・かけ算をしてから余りをとっても、余りをとってから計算しても、結果が同じことです。たとえば「10時から11時間ずつ100回進むと何時？」なら、10＋11×100＝1110 を24で割らなくても、11×100 の余りを先に考えられます。100回のうち96回分（96は24の倍数なので、11×96時間は24時間のちょうど44回分）は時刻を変えないので、のこり4回分だけ進めればよく、10＋11×4＝54、54−48＝6時です（1110÷24＝46 余り6 でも確かめられます）。

合同式の性質の証明や、一の位・曜日を求める例題は、公式辞典の「合同式（mod）の性質と使い方」にくわしくのっています。余りの条件を何個も満たす数を探す「孫子の問題」（3で割ると2余り、5で割ると3余り、7で割ると2余る数は23）は「中国剰余定理の公式」で、約数・倍数の見分け方は「約数の個数・総和の公式と倍数の見分け方」で学べます。整数の問題は大学入試でもよく出る分野で、京都大学（京大）の数学の出題の傾向は「京大 理系数学の出題分析」「京大 文系数学の出題分析」で確かめられます。

うかるくん

合同式って記号がむずかしそう…。小学生の時計の問題と同じものなんですか？

合格先生

同じです。「21時の11時間後は8時」と言えるなら、もう合同式を使っているのと同じ。記号は、その考え方を短く書くための道具にすぎません。時計の問題は合同式のいちばんやさしい入口なんですよ。

身近な「周期」の例：曜日・干支・一の位

「ひと回りしてもとにもどる」ものを、算数では周期といいます。時計のほかにも、身のまわりには周期がたくさんあります。どれも「ひと回りの数で割った余り」で考えると計算がかんたんになります。

曜日は7日でひと回りするので、7で割った余りだけを見ます。曜日の計算は中学受験では「日暦算（にちれきざん）」とよばれ、くわしい解き方は公式辞典の「日暦算（曜日の計算）の解き方」にあります。決まった並びがくり返す問題は「周期算の解き方」、時計の長針と短針の角度の問題は「時計算の解き方」で練習できます。「周期」という言葉の意味は数学用語辞典の「周期とは？」へ。

干支は、十干（甲・乙・丙・丁・戊・己・庚・辛・壬・癸）の10と、十二支（子・丑・寅・卯・辰・巳・午・未・申・酉・戌・亥）の12を組み合わせたものです。10と12の最小公倍数は60なので、同じ干支は60年ごとにめぐってきます。60歳（数え年で61歳）の「還暦」は、生まれた年の干支にもどることからついた名前です。年齢の名前とお祝いは「61歳は還暦、70歳は古希…年齢の名称とお祝いの色」「99歳はなぜ白寿？」で紹介しています。

累乗の一の位も周期をもちます。2をかけ続けると一の位は 2, 4, 8, 6 の4つをくり返します。2027のような大きな累乗の一の位も、4で割った余りだけで求められます。おもしろい累乗の数は「累乗のおもしろい数字一覧」、2027という数字が出てくる入試問題は「2027の数字と入試問題」にまとめています。

数の並び（数列）の法則を見つけるコツ

「ある法則で数字が並んでいます」という問題は、地頭（じあたま）を試すパズルとしても、中学受験の算数・高校数学の数列の入口としてもよく出ます。法則が見つからないときは、次の順に試すと見つけやすくなります。

この問題でいちばんの手がかりは、差の「＋11」と「−13」を足すと24になることでした。24は1日の時間の数です。このように、差に出てくる数の組み合わせが、身近な周期の数（7・12・24・60 など）になっていないかを見ると、余りの法則が見つかることがあります。

差が一定の並び（等差数列）の和の求め方は、公式辞典の「等差数列の和の公式」、言葉の意味は数学用語辞典の「等差数列とは？」で確かめられます。

よくあるまちがい

• 差だけを見て「＋11, −13 だから、□は 21−13＝8」：答えは合っていますが、なぜ −13 なのかを説明できないと、似た問題で迷います。−13 は「＋11 して 24 を引いた」結果です。
• 24時と0時をまちがえる：13時の11時間後は 24時ですが、24時間の時計では0時と書きます。余りで考えると 24÷24＝1 余り0 です。12時間の文字盤では余り0の位置を「12」と書くので注意しましょう。
• 12時間の文字盤と24時間の時計をまぜる：問題に21や19のような12より大きい数があるので、この問題の数は24時間の時計の時刻です。文字盤で考えるときは、最後に午前・午後を確かめます。

練習問題（時計・曜日・周期）

今回の考え方で解ける問題を6つ用意しました。答えは押すと開きます。どれも計算で確かめています。

練習1：24時間の時計（＋7時間）

ある法則で数字が並んでいます。□に入る数は何でしょう？　5, 12, 19, □, 9, 16

練習2：12時間の文字盤（＋5時間）

ある法則で数字が並んでいます。□に入る数は何でしょう？　9, 2, 7, □, 5, 10

練習3：100日後の曜日

2026年10月23日は金曜日です。この日の100日後は何曜日でしょう？

練習4：次の丙午（ひのえうま）

2026年の干支は丙午（ひのえうま）です。次に丙午になるのは西暦何年でしょう？

練習5：2の2027乗の一の位

2を2027回かけた数（2の2027乗）の一の位の数字は何でしょう？

練習6：2つの並びがまざった数列

ある法則で数字が並んでいます。□に入る数は何でしょう？　1, 20, 3, 18, 5, 16, □

地頭を鍛える算数・数学パズル

「地頭（じあたま）」は、知識の量よりも、手がかりから筋道を立てて考える力を指して使われる言葉です。この問題のように、身近なもの（時計）に置きかえて考える練習は、入試の初めて見る問題に向き合う力にもつながります。合格大作戦にはほかにもいろいろなパズルがあります。

• 数の並びの規則を見つける：「35, 77, □, 221…□に入る数は？」「5行5列の数字の表の規則」
• 計算の決まりを見ぬく：「【IQテスト】4+2=14、2+7=23…」
• 数字を並べるパズル：「直線上の合計が24になるように並べよう」
• かくれた数字を当てる：「【虫食い算】○△▢を求めよ」
• 補助線でひらめく図形：「正六角形と台形の面積は4倍【解答編】」
• 見当をつけて大きさを見積もる：「地頭を鍛えるフェルミ推定」
• 素数で遊ぶ：「京大の「素数ものさし」で数学能力UP!?」
• 保護者の方へ：「賢い子どもを育てる本3冊」

数学の記事は「数学まとめ」、公式は「算数・数学公式辞典」、言葉の意味は「数学用語辞典」から探せます。数学の勉強の進め方の全体像は「数学の勉強法」へ。わからないところは「受験の質問・相談」から質問してください。問題をもう一度見たい人は問題編へどうぞ。

まとめ

• 答えは8。数は24時間の時計で11時間ずつ進んだ時刻の並びで、21時の11時間後は8時
• 差の「−13」は、11時間進んで24を引いたもの（11−24＝−13）
• 12時間の文字盤で見ると 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4 と1時間ずつもどる（11＝12−1）
• 1つおきに見ると2ずつ減る（11＋11＝22＝24−2）
• 時計の計算は「ひと回りの数で割った余り」。高校数学では合同式 32≡8（mod 24）
• 曜日（7）・干支（12・60）・一の位（2の累乗は4）も同じ考え方で解ける

よくある質問

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